En un teclado de piano hay 7 octavas / (tridécimas en realidad), contando desde el Do 0 tres teclas a la izquierda antes del final hasta
la última tecla a la derecha, el Do 7, 85 teclas en total de las 88 que comprenden el total de teclas: 7 * 12 = 84 + 1 = 85, 
esto es porque si hay 85 teclas que referencian notas o cents/midicents (Do3 central = 6000 midicents) hay 84 intervalos entre ellas:

	+ 1
Do7 10800
	 12
Do6 9600
	 12
Do5 8400
	 12
D04 7200
	 12
Do3 6000 (6000 mc)
	 12
Do2 4800
	 12
Do1 3600
	 12 
Do0 2400 =
	 85 notas
	 84 intervalos

octavas.mp3     

(Partiendo de la última tecla a la izquierda La sub 0 hay también 7 tridécimas hasta el La super 6,
el porqué hay 3 teclas que parecen estar de más, bien a la derecha o a la izquierda del teclado,
tiene que ver con la influencia de los modos mayor y menor básicos, Do M y La m,
obsérvese que el sistema de solfeo heredado del medieval hexacordo natural de Guido,
Do, Re, Mi, Fa, Sol, La (ocultos y latentes el Si y el Do) leido de izquierda a derecha 
sugiere el  Modo Jónico renacentista del que surgió el Modo de DO Mayor contemporáneo
leido de derecha a izquierda, La, Sol, Fa, Mi, Re, Do (ocultos y latentes el Si y el La)
apunta al Modo Eólico renacentista del que se derivó el Modo de La menor contemporáneo.

Si se escala por quintas en vez de por octavas para ver la relación entre ellas 
se verifica que 12 quintas por 7 octavas = 84 + 1 teclas (o 7 * 12 + 1) se complementa
con 7 octavas por 12 semitonos = 84 + 1 (o 12 * 7 + 1), resultado de la relación temperada
entre octavas y quintas (2:1 , 3:2) que si matemáticamente no es posible
sí resulta posible  integrarlas en un sistema de afinación como el del piano,
basado en el semitono temperado, igual a la doceava parte de la octava = 100 cents/midicents
dividiendo la coma pitagórica que es el intervalo musical  que resulta 
de la diferencia entre doce quintas y siete octavas = 23,5 cents 
(igual a la  quinta conocida como "del lobo" en la afinación pitagórica habitualmente entre el sol#y el mib),
intervalo aproximado a 24 cents, entre las doce quintas del círculo de quintas
de forma que cada una de las quintas del círculo pitagórico resulte reducida en un doceavo de coma,
un pequeño intervalo de 2 cents: 24/12 = 2 que recibe el nombre de "schisma"
(si se escala por cuartas hay 5 octavas, 60 teclas + 1 = 60 intervalos.)

quintas.mp3

Como se ve todo el sistema se basa en el 12 + 1 (13) y sus simetrías de tridécimas cromáticas y subgrupos interválicos simétricos
y las asimetrías de quintas que deben ser temperadas y subordinadas a las octavas para cancelar el círculo tonal.

Estrechamente relacionado con lo anterior, si se observa una serie armónica en principio infinita acotada en unos pocos armónicos, 16 en concreto,

ya que a partir de ahí los intervalos son menores que el semitono
y teniendo en cuenta que el sistema musical occidental no usa intervalos más pequeños que el semitono
se ve como la octava (2 / 1) estructura a los demás armónicos, en efecto,
partiendo de un Do básico grave la sucesión de armónicos sigue una progresión numérica clara,
es decir, el primer sonido que sirve de base, numerado como 1, encuentra su octava o doble en el armónico 2,
este se dobla como octava en el armónico 4 que a su vez se dobla recursivamente como octava en el armónico 8
y finalmente se culmina este conjunto limitado representativo del conjunto infinito doblándose en el armónico 16.
Reordenando la serie de octavas: 1, 2, 4, 8, 16. Como se ve el intervalo va creciendo en una progresión binaria cada vez mayor
pero conservando siempre la misma ratio o proporción doble.

Además las octavas son contenedoras del resto de armónicos de acuerdo a su vez a otra serie relacionada, 
en efecto, del sonido base 1 al 2 hay un intervalo, del sonido 2 al 4 hay dos intervalos, 
del sonido 4 al 8 hay cuatro intervalos y del sonido 8 al 16 hay 8 intervalos.
Reordenando los intervalos internos: 1, 2, 4, 8. Estos intervalos internos aportan la variedad armónica que complementa
la unidad que establece la octava, así aparecen los intervalos de 5ª y 4ª Justa (Do-Sol / Sol-Do) entre las octavas 2ª y 4ª
o los intervalos de 3ª Mayor y menor (Do-Mi / Mi-Sol) y 2ª M entre los grados en octava 4 y 8 de la serie armónica,
y finalmente los intervalos de 2ª M y 2ª m entre los grados también en octava 8 y 16,
con la propiedad de que a medida que las octavas se van distanciando hacia arriba sus intervalos armónicos internos
van creciendo también en una progresión binaria complementaria. Es decir, las octavas marcan las cotas inferior y superior
dentro de las que el resto de armónicos van encontrando su ubicación interválica interna. 
Es por tanto una clara ordenación tonal con una estructuración matemática canónica que coordina y subordina sus elementos de forma perfecta.
Sin duda, el intervalo, la ratio, entre los sonidos es el principio estructurador fundamental aplicado a los sonidos concretos,
y de entre ellos no puede obviarse el intervalo de octava sin consecuencias, dicho intervalo es el fundamental.

Una vez ya establecido el sistema temperado de doce intervalos acotados entre su sonido base y el sonido que duplica su frecuencia
de vibraciones ya no tiene sentido hablar de "octava" relegando al resto de sonidos e intervalos a una especie de segunda clase
menos importante, es más correcto hablar de "tridécima" , de sistema tridecafónico, máxime por y para evitar la confusión "dodecafónica" que precisamente 
por haber obviado la "octava / tridécima" se perdió en un desorden atonal del que no podía deshacere por más que
aplicara unas medidas de pseudo orden serial con unas simetrías muy desdibujadas esencialmente por dar más importancia
a los sonidos concretos que a las relaciones entre ellos imposibles de establecer sin ese intervalo fundamental,
la octava, al que el dodecafonismo lo relegaba al de sonido en otra región más aguda o más grave sin percibir en ningún caso
su verdadera función de intervalo no de sonido más o menos agudo. 
Por cierto, "logaritmo", del griego lógos ‘razón’ y arithmós ‘número’
es lo que permite que nuestra audición musical tenga unas bases "lógicas", matemáticas, no arbitrarias, 
además de físicas, sensuales, estructuradas a partir del intervalo citado con esa "ratio", razón numérica, 2 / 1.
Como aviso a músicos "especulativos" si es que todavía queda alguno y ya pasando a otro plano más desarrollado en el siguiente párrafo,
la octava  / tridécima es el "rebis" en términos musicales ya que dicho intervalo en su ratio doble integra el "duplex".

Y recordemos aquí y ahora por dos motivos en relación a mi propio sistema al gran teórico renacentista Zarlino 
quien reconoció en el intervalo de "Diapasón" = Que pasa por todos (grados / intervalos) al intervalo "Plusquamperfectum" como muy bien lo denominó 
ya que en efecto, si las "quintas" y "cuartas" tuvieron al fin que ser "ajustadas" en un doceavo de octava 
de donde sus adjetivos de intervalos "justos" ya sugieren que no tenían nada de "perfectas" como a veces se las llama erróneamente, en cambio, ese  12 _
																                     V 2n
esa división en 12 del Diapasón (2n) permitió teórica y prácticamente el acomodo del resto de intervalos bajo su perfecta ala protectora.
El segundo motivo de recuerdo del citado músico es debido a la relación que guarda su "senario" como estructura fundamental
que perfeccionaba la "tetraktis" pitagórica de proporciones armónicas privilegiadas agregando a las razones,
1/1 (unísono), 1/2 (octava), 3/2 (quinta), 4/3 (cuarta), las dos siguientes, 5/4 (3ª M), 6/5 (3ª m) completando las seis razones o senario,
las razones, 5/3 (6ª M), 8/5 (6ª m) eran miradas complementariamente como la unión de una cuarta perfecta, 4/3, y una tercera mayor, 5/4, o una tercera menor, 6/5.
Como he indicado la relación que estas dos estructuras venerables guardan con mi sistema modal se puede entender fácilmente
viendo que los tetracordos perfectos temperados que configuran dicho sistema, Do-Fa#, por ejemplo, poseen 6 semitonos,
y como 6 es un número perfecto ya que es la suma de sus tres divisores, 1, 2 y 3 que son englobados como 4º número que los engloba, el 6,
se ve la total integración de la "tetraktis" y del "senario" pero entendido ahora no como razones o proporciones de intervalos como en el pasado
sino como una clase de intervalos, semitono, tono, y tono + semitono, 4ª perfecta, que configuran y engloban "perfectamente" esas dos estructuras tan importantes,
hay que tener en cuenta que con el sistema temperado no hay razones o proporciones racionales sino números irracionales temperando el sistema
por lo que lo único que puede restablecer "naturalmente" las razones y proporciones musicales perdidas en la evolución de los sistemas
pitagórico y justo al advenimiento del sistema temperado es recobrar al menos los números naturales y aplicarlos musicalmente 
como ejemplifico en la nueva "tetraktis" y en el nuevo "senario" de mi sistema modal,
y una última relación senaria general que hay que recordar es la que forma el conjunto de parámetros que organizan  el material sonoro musical:

1-armónica (intervalos, notas, acordes...)
2-rítmica (duraciones, figuras musicales...)
3-métrica (acentos, fuerte, débil...)
4-agógica (tempo, rub, rall. acc...)
5-tímbrica (instrumentos naturales, mecánicos, electrónicos...)
6-dinámica (intensidad, p f...)


Más allá... La tridécima tiene algunas propiedades simbólicas interesantes,
corresponde al grado 13 (asociado a la muerte, cf. Arcano XIII)
que re-dobla, "resucita" en otro "techo" su "suelo" (cielo-tierra),
es la que subordina a si misma a sus otros cinco subgrupos interválicos simétricos
porque es el único intervalo que se reunifica consigo mismo 
y quien engloba en sus siete octavas a las doce quintas que completan el sistema tonal en un piano
(85 teclas = 7 octavas = 8 + 5 = 13 teclas moduladas en una octava),
además, es el único intervalo bien afinado, al menos en el centro del teclado, y no reajustado como el resto de intervalos temperados,
y en un plano imaginal tiene poder transformador místico ya que representa al "alter ego", al "doble",
metafóricamente, si en las primeras obras de Liszt se usan las octavas para potenciar la sonoridad del piano
y como evidente muestra del poderío del pianista que las pueda dominar
en las últimas obras de Liszt, por ejemplo, en las rapsodias húngaras 16 a 19
así como en varias piezas de Ligeti como la primera de las "Tres piezas para dos pianos" 
o la  pieza 2 de "Música Ricercata" (la empleada tan inquietantemente por Kubrik en su última película "Eyes Wide Shut")
adquieren una calidad funeral ya que sugieren pasar a otro plano
(por cierto, los húngaros Liszt-Ligeti "li-gan" bien con su "Totentanz" y su "Le Grand Macabre"...),
si en cambio las octavas / tridécimas se intentan obviar como sucede en el dodecafonismo se acaba dislocando todo,
la proporción 2:1 que reside en la octava / tridécima...es la propiedad más interesante que posee 
ya que imparte el caracter logarítmico sobre la percepción humana del sonido e impone el verdadero sentido de Tonalidad.

Para R.Steiner la humanidad todavía no ha llegado al nivel espiritual de lo que significa la octava,
en realidad, en cuanto a "octava" diatónica sí llegó muy pronto a captar su importancia en cuanto advirtió la ratio 2 / 1 desde Pitagoras al menos,
otra cosa es que, en efecto, como se ve desde Schönberg y su escuela atonal dodecafónica
la octava ha desaparecido prácticamente y necesita ser redescubierta y reevaluada
como tridécima cromática y mirar dentro de su ámbito interno para contemplar los interesantes cinco grupos de intervalos simétricos
capaces de "sintonizar" otra nueva tonalidad-modalidad bajo su poderosa égida.
Como realización personal de tal posibilidad más abajo van unos cuantos ejemplos,
estos están afinados con la frecuencia 130 Hz (Do 2) aproximada a la de 136,10 Hz. (1+3+6=10=1 /...,1 = 1) 
establecida como base tonal en la tesis de H.Couto (cf."Cosmic Octave") que lo conecta con el mantra "Aum (OM) / Amin, 
con la chakra anahata (del corazón) y con la rotación anual de la Tierra respecto al Sol.
Aum.mp3

Para una ulterior referencia relacionada sirva el siguiente texto de Gurdjieff
(Cf.Thomas Daly "The Music of Gurdjieff and Thomas de Hartmann")
 
"One important form of objective art is sacred music. This kind of music, which may be
called ‘objective music,’ is based on mathematical laws governing the vibration of sound
and its relationship to the human psyche: “Objective music affects all people in the same
way . . . it not only touches the feelings but transforms them, bringing the listener to a
unified or ‘harmonious’ state within himself and thus to a new relation with the universe
which is itself a field of vibrations.”  Objective music is based on melodies of “inner
octaves” which are not audible to the human ear but produce predictable effects on the
listener’s emotional center."

Gurdjieff también consideraba que en la "Octava" había dos puntos débiles,
los dos semitonos, Mi-Fa / Si-Do, según él, si se escalaba del Do al Re y del Re al Mi
con un tono como intervalo se cambiaba de rumbo al perder su empuje en el intervalo siguiente
de medio tono, tanto en el primer tetracordo Do-Fa como en el segundo tetracordo Sol-Do
a menos que recibiera un nuevo envite procedente de algún tipo de Octava más potente.
En efecto, si esa "Octava" superior es la que defino como "Treceava" con sus propiedades
interválicas simétricas ya no se encuentran retardos ni cambios de rumbo pues
cada subdivisión interválica simétrica va directa a su objetivo, además,
cada una de las cinco subdivisiones internas de la "Treceava" son realmente manifestaciones 
de esas "Octavas internas" ("inner octaves", como refería en el párrafo anterior.)

Chunk-canons.mp3
tiling-canon1.mp3
tiling-canon2.mp3
tiling-canon3.mp3
A binary canon1.mp3
A binary canon2.mp3
Tambura.wav
Stretch.wav

En fin, en las "octavas / treceavas"... viniendo a través de un medium como Rosemary Brown se percibe la resonancia del Otro Mundo.
index.htm
simetria.htm
dhikr.htm

19-2-2017 / 8-1-2018 / 4-2-2019 / 11-2-2019 / 24-2-2019 / 10-5-2019