"Palindromic Canons" de Nicolas Slonimsky forma parte de las secciones finales, contrapuntísticas y armónicas,
de su obra "Thesaurus of Scales and Melodic Patterns" (1947).

El autor dice en la Introducción:

"Una palabra especial debe ser dicha respecto a estos Cánones.
Palindromos son palabras o sentencias que se leen igual hacia adelante que hacia atrás, como la sentencia 
"Able Was I Ere I Saw Elba", traducida en español como "Era capaz antes de ver el Elba" , con referencia a Napoleon.
(en este caso sería la letra "r" el eje de simetría, haciendo abstracción de mayúsculas y minúsculas).

Aplicado a estos Cánones, si se observa la partitura se ve, a modo de claves de arco en arquitectura, 
unas notas centrales y diversas escalas ascendentes y descendentes que convergen y divergen respecto a ellas.
Estas notas están situadas siempre en la zona más aguda de las escalas y patrones empleados y desde esa posición 
a derecha o izquierda se distribuyen el resto de notas y esto para cada una de las voces que configuran los diveros cánones.

Continúa el autor:

"Los dos "Canons on Pattern 72" son particularmente interesantes.
(Patrones son pequeñas interpolaciones de varios tipos que varían los núcleos interválicos básicos de cada escala, en la terminología del autor.)
Resultan en una progresión de tríadas enharmónicas o sus inversiones, alternando en terceras mayores y menores...
La elaboración rítmica es dejada a la imaginación del compositor..."

La idea de esta importante obra teórico-práctica que tras un éxito inicial fue cayendo en el olvido dejando paso
a otros teóricos tal vez mejor pertrechados algebráicamente pero quizá menos agudos en la percepción real del hecho musical, 
es la de ser una especie de vademécum como parece que resultó literalmente en algún caso
como el que recientemente rememoró Quincy Jones respecto a John Coltrane.

Es una obra brillante al analizar las escalas y patrones musicales considerando sus propiedades interválicas simétricas estructurales
o sus complementarias asimétricas y aunque no menciona la palabras asociadas al álgebra, "grupo" o "simetría", 
tan del gusto de los actuales teóricos americanos, rebosa de tales relaciones aplicadas a la música.
Y es muy de agradecer ese enfoque interválico pues el exceso de análisis dodecafónico que la figura de Schönberg atrajo
y que atañe principalmente a los grados de la escala más que a los intervalos de la misma
aunque abre ciertas posibilidades en algún sentido también obnubila ciertamente en otro.

En el caso de Slonimsky, menos conocido aunque de parecidas circunstancias raciales y biográficas que el compositor austríaco ,
su obra complementa desde una perspectiva mucho más rica la base teórica dodecafónica, de hecho la menciona muy de pasada pero
bien descrita con muy pocas palabras y como un caso más y no el más importante entre muchos otros,
no obstante rinde un homenaje a Schönberg en uno de los cánones palindrómicos, el basado en el patrón 231 de su "Thesaurus"
que porta el tema de la "Oda a Napoleón" (de nuevo) del citado compositor.

Parece ser que el ámbito de su influencia fue más bien local estadounidendense, ya se ha citado como ejemplo a dos compositores afroamericanos
provinientes del bebop y más allá que le citan como de gran importancia en esos años de vanguardia.

(La obra se encuentra en internet en formato .PDF)

Tal como aparecen en su obra, los "Cánones palindrómicos", nueve en total, resultan imposibles de ejecutar
pues están dispuestos para una hipotética y supuesta mano derecha de pianista, sin mano izquierda,
pero como los cánones van desde algunos a tres voces como mínimo pasando por los de a cuatro y seis hasta alcanzar
los de ocho voces se necesitarían ¡ocho manos derechas! Además las figuras y grupos de figuras presentan una complejidad rítmica
inabordable en principio. Finalmente, la grafía que emplea es muy poco realista.

Por todo ello y pareciéndome muy interesantes dichos cánones presento mi propia versión
acompañándola del original para poder comparar la versión inicial, teórica esencialmente, y mi versión práctica complementaria,
máxime cuando esa era la idea de la obra, servir de puente teórico-práctico con compositores e intérpretes.
Gracias al ordenador sí se puede efectuar una edición tanto de la partitura como de la grabación adecuada sin problemas de ejecución humana
y por ello me he decantado por añadir al original indicaciones de compas distribuidas en forma estructurada concreta
y simplificando y unificando las agrupaciones rítmicas de la abstrusa grafía planteada por la versión inicial,
además de dar a cada voz canónica su propio pentagrama y sus barras divisorias a diferencia de Slonimsky quien al aparear dos voces
por pentagrama sin líneas divisorias genera muchas confusiones en las alteraciones convirtiéndolas a todas en accidentales
y generando confusión gráfica respecto a la superposición de voces.
(He borrado los silencios de figura en mi versión para dar una imagen estética que recuerde los vacíos al margen
que quedan en una hoja en blanco después de usar un rastrum de escritura musical como se ve en el original,
si bien en el urtex Slonimsky borra también los segmentos de pentagrama asociados a dichos silencios.)

Como ejemplo de la compresión de la versión original puede observarse que en formato PDF ocupa cuatro hojas
mientras mi edición posee diecinueve hojas, he añadido una repetición por cada canon y los he encadenado unos a otros
pues la muy breve duración de los cánones desaconsejaba presentarlos autónomamente,
ha de tenerse en cuenta que la primera y la última nota de cada canon es la misma por lo que se elide en el enlace
entre cánones esa nota integrándola en una sola, si se observa el original la última figura en cada canon rompe su relación
con el resto como a manera de conclusión un tanto forzada por lo que la he sustituido por una figura del mismo valor
que permite teóricamente y también en la práctica realizar el enlace con una perfecta simetría rítmica,
solo en la última nota del último canon he alargado el valor de la figura en una semicorchea
para evitar que se pierda fugazmente el último sonido como acaece con frecuencia en las reproducciones MIDI.

Presento las versiones WAV y la versión MIDI, una de más calidad y otra más abierta a experimentar con ella en timbre y tempo,
así como la partitura original y la edición revisada en PDF.



"Chunk-Canons".



Chunks-canons ha sido una realización en OpenMusic (OM) que encuentra su ubicación en esta sección (Bach)
y que guarda relación por una parte con los "Palindromic-canons" de Slonimsky y por otra parte
con las secuencias "b-a-c-h-d-s-c-h". Con los cánones por su simetría respecto a un eje central
y su realización vuelta posible virtualmente gracias al ordenador ya que de otro modo sería prácticamente imposible.
Con las secuencias por un cierto parecido en la precisión, velocidad y fluidez imposible de lograr por un instrumentista humano.
Además estos "trozos" (chunks) de canons guardan una relación con la gran tradición canónica
aportando un ejemplo de lo que se podría definir como "automelodías" y "autocánones" que se podrá verificar
mirando la partitura si es que no se ha percibido en la audición.
Los conocedores de OM y de su función "onlistloop" verán como una serie 
(y en palabras más sencillas para que cualquiera pueda entender), por ejemplo:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 que forma aplicándola musicalmente una escala de semitonos desde un punto de partida a otro de llegada
se "trocea" en 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
                 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
                   3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
		     .................... fragmentos y así sucesivamente hasta que como se ve en la diagonal izquierda
se va perfilando la misma escala de 12 semitonos pero a una velocidad más lenta si se ejecuta en tiempo musical
más allá de la figura espacial. Eso es una muestra de una automelodía y de un autocanon,
con sus correspondiente procesos de disminución y aumentación respecto al tiempo afectado,
basta girar a lo largo del tiempo esas series recursivamente decrementadas en un intervalo de semitono y de tiempo correspondiente
y se habrá formado un canon a dos voces ejecutado por una sola voz. Si además esto se multisecuencia y se refleja en otras voces,
en una suerte de polifonía de polifonías los cánones así formados muestran también una fractalidad recurrente permanente.
Los tres primeros cánones emplean una serie heptafónica (exatónica) y el cuarto canon una serie tridecafónica (dodecasemitónica).
Las partituras muestran la forma que aparecen estos cánones en "MuseScore" exportadas desde OM.
Son obviamente imposibles e imperfectas pero muestran una aproximación esforzada a algo más potente que las supera,
no obstante es interesante ver la impresión erizada de dificultades que presentan si se compara con la fluidez de la realización sonora.
Con el nombre "Grand Piano.png" he incluido la imagen del patch correspondiente al cuarto canon escaneado de OM.
Para su realización he utilizado "Om" - "Synthfont" - "Vanbasco" - "Apowersoft" además del citado editor musical.



"Zn-Canons".



Estos dos cánones (dos versiones del mismo canon) provienen del Zn-Tutorial de Moreno Andreata sobre los 
cánones rítmicos de acuerdo al modelo de ritmo periódico desarrollado por el matemático rumano Dan Tudor Vuza.
(Cf.http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/OpenMusic/user-doc/DocFiles/znTutorial/)
e importados a su vez desde "The complete RCMC-canon compendium of length 72"
(Cf.https://imsc.uni-graz.at/fripertinger/canons/canon_3.html)
Mi aportación ha venido motivada, además del interés por este tipo de cánones, al advertir
en la realización práctica de los ejemplos propuestos en el citado Tutorial 
un par de diferencias en la evaluación de dos parámetros lo que me ha llevado a una solución ligeramente distinta
resultando al fin un cambio en cuanto al compás que pasa a ser de 4/4 en vez del 6/8 original.
Una vez establecida la diferencia  he exportado la resultante del patch en formato MIDI 
y lo he reelaborado en Muse Score, Vanbasco y Apowersoft como PDF y MP3,
aporto también el escaneado del patch de mi versión en OM con las notas y observaciones pertinentes.
Considero estos cánones como cuasi anónimos ya que parten de un patrón matemático preciso
debido al citado matemático más la aportación del mencionado Tutorial en la explicación de su estructura
basada en los ejemplos percusivos a seis voces de Fripertinger y desarrollados a 12 en esta versión
con realización sonora de alturas precisas ejecutadas en piano/s y la partitura correspondiente.



"Tiling-Canons".



Además de la progresiva teselación rítmica canónica a la que hace referencias el título
estos tres cánones especifican el bitritono-trifónico para el primer canon,
el tribitono-tetrafónico para el segundo canon
y finalmente el tetrasesquitono-pentafónico para el tercer canon.
Realmente en un sistema tridecafónico de grupos de intervalos simétricos
no caben estrictamente referencias a "cuartas", "quintas", etc.
ya que no se parte de una "octava" en la que sí tienen sentido esos intervalos.
Respecto al tercer "Tiling-Canon" y en cuanto al timbre ha de observarse
que solo con un oscilograma o un espectograma se podría tener una intuición 
de lo que va más allá de la partitura que solo referencia bien a través de las notas fundamentales
sin poder dar cuenta de la complejidad de los componentes armónicos involucrados,
compárense ambas versiones.pdf y .png para verificar las dos vistas en relación al archivo sonoro de base .mp3
tiling-canon 3 (score.pdf)
tiling-canon 3 (espectro.png)  
tiling-canon 3 (.mp3)

Me ha parecido además conveniente "religar" tanto la matemática con la música
como ambas con lo perteneciente al ámbito sagrado,
de nuevo este archivo citado puede servir como una buena muestra de dicho vínculo "espectral"



"Two Binary Canons"



Tras conocer el interés por los llamados "cánones ciclotómicos" en ciertos ambientes
me ha parecido interesante dar un paso más al observar que dichos cánones se basan
en los coeficientes 0 y 1 de los polinomios ciclotómicos cuyas raices cortan la circunferencia en el plano complejo,
estos coeficientes son comunes con los que se encuentran en los polinomios binarios
pero estos últimos son más sencillos de comprender más aún si se ejemplifican con ejemplos concretos
aplicados a objetos musicales, así la siguiente tabla muestra la correspondencia
entre los coeficientes binarios y su plasmación en notas-figuras musicales coordinando
además el sistema binario y el tridecafónico reflejando todo en las partituras (pdf)
que portan además los coeficientes citados como texto adjunto a las notas-figuras musicales,
tambien se aporta su reflejo sonoro complementario en dos archivos (mp3).

(x = onset / . = silencio) (El único número que empieza por . = 0) (El intervalo 0 temporal es la anacrusa rítmica)  

0  0     .          (Grados del polinomio)
1  1     x     Do   1º       2 elevado a 0  
2  10    x.    DO#  2º       2 elevado a 1              
3  11    xx    RE   2º            "
4  100   x..   RE#  3º       2 elevado a 4
5  101   x.x   MI   3º            "
6  110   xx.   FA   3º            "
7  111   xxx   FA#  3º            "
8  1000  x...  SOL  4º       2 elevado a 8 
9  1001  x..x  SOL# 4º            "
10 1010  x.x.  LA   4º            "
11 1011  x.xx  LA#  4º            "
12 1100  xx..  SI   4º            "
13 1101  xx.x  DO   4º            "  

Polinomio rítmico de 4º Grado.
Estos cánones a cuatro voces están basados armónicamente en los grupos cíclicos simétricos de sesquitono y bitono,
melódicamente todas las voces avanzan simultáneamente con el ritmo (R) indicado a través del grupo de 12 semitonos
también conocido junto a los anteriores como idempotente, ocasionalmente y de paso, como apoyaturas o disonancias,
se encuentran algunos acordes asimétricos así como tritonos de la misma familia estructural que los grupos citados.
Complementariamente y partiendo de la primera voz hay siete entradas sucesivas tridecafónicas de las voces canónicas con la siguiente estructura (S):
0
 3-
  3-
   4-
    3-
     3-
      5-
       3
ya que cada voz repite dos veces el tema propuesto.
(R = Rhythm, S = Structure, siguiendo la convención actual referente a los dos períodos complementarios canónicos.)
Hay que tener en cuenta también que el Ritmo (R) se computa en pulsos binarios, en efecto,
el compas binario de 2/2 = c/ subdivide sus 2 tiempos, en cada uno una figura de blanca / silencio o dos figuras de negras / silencios...
Por la parte complementaria, la estructura (S) computa en unidades superiores de compás 
como reflejan las cifras decimales escalonando las sucesivas entradas canónicas.
Una característica de estos dos cánones es que aunque son a cuatro voces nunca suenan las cuatro al mismo tiempo,
salvo una excepción tetrafónica en el primer canon en la que coinciden en un comienzo y un final de serie dos notas en relación de doble octava
en el resto del canon siempre queda alguna voz en silencio sumando en total, con los silencios parciales de las cuatro, nunca más de tres voces en onset (pulso activo)
lo que implica un teselado sutil de pulso (x) y silencio (.) 1 y 0 binario complementarios.
En el segundo aunque también se produce un estrechamiento sutil entre el final y el comienzo de cada voz canónica coincidiendo en cuatro ocasiones 
como en el canon anterior siempre en unísono o doblado en frecuencia el efecto contrapuntístico resultante es también  de solo a tres voces.
La correspondencia binaria indicada más arriba, sin tener en cuenta que el ámbito en el que se desarrollan las cuatro voces
sea realmente el de un grupo de veinticuatro intervalos, se refleja y cancela modularmente 
por lo que se asignan los mismos ritmos exactamente como en un reloj que pasando de las doce horas del día
reduce las doce restantes que completan el día al mismo conjunto limitado de doce números.
(La asociación cíclico-interválica y rítmico-binaria mostrada en estos dos cánones guarda correspondencias notables convergentes
con una obra informático-musical seminal de 1956, "Illiac Suite for String Quartett" de L.A.Hiller y L.M.Isaacson,
en efecto, en su tercer movimiento ("experimento" lo llaman los autores en su libro "Experimental Music" de 1959 que explica los pormenores de la citada obra)
combinan y aplican una tabla de correspondencias entre dígitos binarios y pulsos rítmicos 
y la ponen en relación con una "serie interválica", diferente en concepto a una "serie tonal".
      

Grubelei.htm
teoría-práctica-musical.htm
Nota.htm
simetria.htm
grados.htm
perfectos.htm
index.htm

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