(1)  Octava  / 13ª                ()      1
 2   Tritonos                ()      2
 3   Terceras Mayores        ()      4
 4   Terceras menores        ()      7
 6   Segundas Mayores        ()     14
 12  Segundas menores        ()    (28)
  
El número perfecto (28) tiene 5 divisores,
la unidad de octava o tridécima (1) tiene tambien 5 divisores interválicos,
la suma de cada uno de los dos conjuntos es igual = 28 Números / Intervalos

En realidad, esto sucede porque intervienen dos bases diferentes,la base 10 y la base 12; 
obsérvese en base 10 que 28 = 10 modularmente y que sus divisores
1 + 4 = 5, 4 + 2 + 1 = 7 * 2 = 14 = 5 resultan en el 5 que es el divisor de 10,
en base 12 lo divisores suman 6, 4 + 2 = 6,1 + 2 + 3 = 6 + 6 = 12 y la suma de todos los divisores es 28.
La Teoría de números podrá sin duda sacar muchas más consecuencias.

El anterior número perfecto, el número 6, puede encontrarse como subconjunto en la secuencia, 
es decir, 1 + 2 + 3 = 1 Semitono + 1 Tono = 2 Semitonos + 1 tono y 1 semitono = 6 Semitonos.
Si se transcribe musicalmente el número 28 evaluando desde el Do central del piano resulta:
DO-REb-MIb-SOLb-SIb-MI-MI8ª

perfectos.pdf
perfectos.wav
stretch.pdf
stretch.wav

Si se comparan ambos conjuntos numérico-musicales desde el aspecto rítmico temporal
se observa una vinculación binaria en el caso de la secuencia, 1 2 4 7 14 28,
y una vinculación ternaria en el caso de la secuencia, 1 2 3 4 6 12.
En efecto, como se muestra en el pdf de más arriba hay 7 blancas en total lo que implica 14 negras y 28 corcheas
y cada una de las blancas con valor de 2 negras ha venido de la divisón de una redonda con valor de 4 negras que llena el compás
a su vez multiplicado por 3,5 compases y medio. Este decimal o medio compás indica su adscripción binaria.
En cambio, si se ve el pdf complementario se observa que es un compás de subdivisión ternaria donde prima el número 3
a diferencia del otro conjunto donde prima el 7, no obstante, el total de 7 compases sí relaciona a ambos conjuntos estrechamente.
En realidad, estos dos conjuntos son en el dominio temporal, rítmico, lo que la octava (1/2) y la quinta (2/3) son en el dominio de las frecuencias,
y si hubo que ajustar las quintas en relación a las octavas para poder tener un sistema temperado práctico 
se puede observar algo parecido en el orden temporal, el 2 y el 3 representativos primos en las frecuencias sonoras
vuelven a encontrarse en el ajuste rítmico como divisores binarios y ternarios de los tiempos incluidos en los compases musicales.
Se habla mucho de la "Transformada de Fourier" como la función que opera la transición del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia,
en este artículo puede verse algo parecido y que tal vez se pueda entender más facilmente,
después de todo se está hablando de relaciones espacio-temporales y la música es tan capaz como el álgebra
u otras ramas de la matemática o incluso de la física para esclarecer dichas relaciones.

grupos.pdf 
grupos.wav 

Estos dos números primos son decisivos para imprimir carácter diferencial en el dominio temporal musical,
(como nota-anecdota de paso mencionaré trayendo a colación por sus relaciones oportunas 
un comentario de Messiaen quien se autodefinía como un "rítmico" acerca de la no idoneidad rítmica de Prokofiev...
en absoluto de acuerdo con ese comentario creo que Prokofiev creó estructuras rítmicas de una extraordinaria contundencia,
por ejemplo, en su magnífica "7ª Sonata para piano", en su último movimiento en compás de 7/8 logró una genialidad solo igualada tal vez
por Strawinski en su "Consagración", si en su primer movimiento, vivo, en compas de 6/8 la subdivisión es ternaria aunque se perciben los dos tiempos clara y simultáneamente
el segundo movimiento, lento, en 3/4 y subdivisión binaria plantea un contraste muy bitemático de sonata para llegar a la síntesis
en el tercer movimiento amalgamando en un mismo compás las dos estructuras, binaria y ternaria en un "tour de force" absolutamente impar,
teniendo en cuenta además que ese compás de 7 tiempos aparece solo en su "Sonata 7" demuestra una carga simbólica muy valiosa.
Messiaen en cambio sí acertó cuando se autocriticó refiriéndose a sus "Modos de valores e intensidades"
juzgándola como obra de  ningún valor musical... -perdón por el sarcasmo implícito- ).

Obsérvese que los grados no son intervalos y viceversa, 
muchas veces se analiza el sistema dodecafónico sobreentendiéndose que es de 12 sonidos 
pero no es lo mismo que el sistema interválico que en realidad tiene 13, 
en efecto, la octava / 13ª del tono fundamental, primer intervalo cifrado en un único intervalo, vale el total de intervalos, 12, 
los dos tritonos, la mitad cada uno del total, luego, secuencialmente, los tercios, cuartos, sextos y doceavos del total, 
sin embargo, es la suma del índice de los divisores interválicos lo que es homologable con el número perfecto 28 
y con el anterior número perfecto, el 6, en relación a los tres primeros divisores: 1, 2, 3 de la gama considerada interválicamente.
Obsérvese también que hablar de notas es como hablar de aritmética 
en tanto en cuanto las notas referencian concretamente a una altura o frecuencia determinada,
mientras que hablar de intervalos es como hablar de álgebra en cuanto que son proporciones abstractas
que se las puede evaluar si se requiere pero que en sí mismas ya tienen un caracter de metadatos.

No estoy de acuerdo por no considerarlos correctos tanto el análisis de los intervalos musicales como funciones matemáticas
según la teoría de David Lewin en su obra "Generalized Musical Intervals and Transformations"
como el análisis que de los mismos hace Dmitri Tymoczko sirviéndose de vectores geométricos
en su crítica a Lewin expuesta en su ensayo "Generalizing Musical Intervals", 
en ambos casos dan prioridad al dominio temporal, a la movilidad, funcional o vectorial de los intervalos cuando se interpretan musicalmente en tiempo real
cuando lo que se requiere en primer lugar hablando de intervalos musicales, que no son de tiempo sino de lugar,
es precisar analíticamente su condición puramente espacial tal como son tratados por los compositores y quedan anotados en la partitura,
dichos intervalos no es que "existan" en el tiempo, "son" en el espacio musical, previos a su plasmación temporal, por lo que tratados como números
ha de entendérselos como posedores en sentido matemático estricto de un valor absoluto como números, 
sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-) que los impulse en un sentido vectorial ascendente o descendente,
tampoco son una "máquina" funcional que opere sobre una nota/altura/frecuencia sonora determinada como entrada y de como salida
tras una misteriosa función operativa atribuida al intervalo otra nota/altura/frecuencia.

Con todo el respeto debido a una personalidad bien apreciada y ya fallecida, David Lewin, 
creo que el origen de todo este enredo respecto a la Teoría de intervalos fue el ejemplo que propuso como punto de partida,
el motivo inicial de la 5ª Sinfonía de Beethoven: SOL-SOL-SOL-MIb. Desde el punto de vista interválico, no rítmico, este motivo es solo
una muestra de descomposición armónica analítica aplicada en el mismo sentido que Fourier en su análisis espectral demostró,
que toda  señal compleja puede descomponerse en un conjunto de señales simples, es decir, Beethoven se caracterizó musicalmente hablando
por un uso masivo de la armonía constructiva, ese motivo de la 5ª Sinfonía solo, y digo solo, se puede analizar como un acorde de Do menor
desplegado desde su 5ª justa (SOL) a través de su 3ª menor (MIb) y dejando en situación espectral su tono básico fundamental, sugerido pero no enunciado (DO).
En síntesis: Sol-Mib- (Do) imponiendo desde el comienzo la tonalidad básica y a continuación otro acorde obvio
de 7ª Dominante: FA-FA-FA-RE desplegando analíticamente su 7ª (FA) y 5ª (RE) y dejando en estado espectral la 3ª(SI) y la tónica (SOL),
para a continuación desplegar en el resto del movimiento todas las potencialidades de esos sonidos espectrales o enunciados,
no solo por su valor interválico sino sobre todo por su tratamiento rítmico: ...-/...-/...-/ ............................
Todo oyente con una mínima percepción musical captará sin problemas, intuitivamente, esa sucesión de Tónica-Dominante así como su despliegue analítico de 5ª, 3ª o 7ª
aunque no sepa analizarla desde un punto de vista armónico, y esta es la clave definitiva de los intervalos, su origen armónico,
como ya se sabía desde Pitagoras, un intervalo armónico no es ni positivo ni negativo, ni ascendente ni descendente,
bien sabía Beethoven que DO-MIb-SOL era una síntesis espacial, espectral, armónica como punto de partida y que de SOL A MIb no había ningún intervalo descendente ni ascendente,
solo creó la "ilusión" de que lo era y además de que formaba parte de una secuencia temporal, 
por algo se habla de "análisis armónico", en realidad Beethoven "oía" internamente los bloques de acordes como simultáneos
y solo los desplegaba analíticamente o dejándolos en situación espectral parcialmente por obvios 
aplicando estructuras rítmicas que dieran interés ya que sin los motivos rítmicos
sus estructuras meramente armónicas no eran especialmente interesantes, y fue por eso por lo que posteriormente
fue dando de lado a la armonía analítica y convirtiéndose en un contrapuntista a tiempo completo,
los contrapuntista empleaban procedimientos mucho más complejos para disimular los obvios acordes subyacentes
y Beethoven desarrolló como también Mozart antes formas de zafarse de la tiranía simultánea de los intervalos 
siempre armónicos aunque no se deseara y así hasta Schönberg y más allá.
El intervalo es espectral, armónico, neutro, ni + ni - ni asciende ni desciende solo se puede tratarlo analíticamente, si no se desea la síntesis,
por medio de secuencias rítmicas temporales  que crean la ilusión que el intervalo se mueve hacia arriba o hacia abajo pero que en realidad no es así.

Me vienen al recuerdo dos citas, una del "Parsifal" de Wagner en donde se le dice al recién llegado protagonista:
"Aquí el tiempo se convierte en espacio"...la otra cita es de Strawinski: "Lo más importante de la música es el intervalo y el ritmo"
Sin duda se pueden y se deben relacionar ya que desde Einstein quien criticó el concepto absoluto del espacio de Newton
hablamos del espacio-tiempo como la cuarta dimensión pero no deben confundirse ni absoluta ni practicamente,
en efecto, la "entonación" de dos notas implica un intervalo pero el intervalo de tiempo en la secuencia temporal,
sumado tanto el valor de la figura musical que se aplique a cada nota/altura/frecuencia
como el silencio que se pueda introducir entre las dos notas// relacionadas no tiene nada que ver en absoluto con el intervalo espacial entre dichas notas//,
por lo mismo, si dos voces se reparten las dos notas y las entonan al mismo tiempo se percibe con claridad el intervalo armónico
que ni asciende ni desciende demostrándose que solo la secuencia rítmica, extrínseca, temporal, analítica,
puede crear la ilusión de que los intervalos son vectores con una dirección. 
(No obstante, Stockhausen en "Cosmic Pulses" y antes en "Kontakte", demostró que las alturas
si descienden por debajo del umbral de percepción de frecuencias se vuelven ritmos periódicos
y estos a la inversa pueden transformarse en alturas audibles,
también mostró el contacto fronterizo entre movimiento espacial y timbre.)

(Resulta increible que a estas alturas históricas se vean con frecuencia erróneamente definidos conceptos básicos de Teoría musical
como los de Escala, Grado, Intervalo, Tono, Nota, Pentagrama y que necesiten una redefinición:
- Escala, graduada en grados con intervalos cada par de grados.
- Grados, inferior y superior delimitadores del intervalo central.
- Intervalo, espacio central entre dos grados.
- Tonos/Semitonos/...medida  de los intervalos.
- Notas, escritas en el pentagrama.
- Nombre de las Notas, aplicado a los grados de la escala. 
- Pentagrama, escala gráfica referenciando la escala musical.
Un grado estará encima o debajo de otro pero el intervalo central ni asciende ni desciende.
En una secuencia de grados e intervalos escrita en pentagrama estríctamente nada se mueve, es realmente puramente geométrica, bidimensional,
una vez que pasa a la tercera dimensión espacial no puede obviarse la cuarta dimensión temporal
que "deformará" la pura información espacial y así parecerá que hay intervalos ascendentes y descendentes
cuando en realidad "algo", un intérprete sobre un instrumento o una máquina programada estará pasando por los diversos grados e intervalos
en el mismo sentido que se asciende o desciende por una escalera fija.)

Los conocedores de Lisp advertirán en el esquema de más arriba que los números o las notas en OpenMusic (Clisp) son los átomos
y que los intervalos son las listas representativas en dicho lenguaje por el par de paréntesis que
indican que cada átomo encapsulado tiene otro tratamiento como acorde, "chord", en OM.

Las relaciones entre la música, la matemática y la informática como se demuestra en estos ejemplos 
muestran una gran congruencia que confirma la tendencia actual de la Teoría de la Música 
a verificarse por medio de dichas disciplinas.

palindromic.htm
simetría.htm
grados.htm
index.htm

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