La unidad de Treceava temperada ("Octava" hace referencia solo a la escala diatónica sin intervalos cromáticos) de 12 intervalos de semitono, por ej. :

DO - DO# - RE - RE# - MI - FA - FA# - SOL - SOL# - LA - LA# - SI - DO 

se divide en cinco grupos / subgrupos conocidos matemáticamente como "grupos cíclicos" - "grupos idempotentes" de 2, 3, 4, 6 y 12 intervalos simétricos:

DO - DO = (1)
DO - FA# - DO = 2
DO - MI - SOL# - DO = 3
DO - RE# - FA# - LA - DO = 4
DO - RE - MI - FA# - SOL# - LA# - DO = 6
DO - DO# - RE - RE# - MI - FA - FA# - SOL - SOL# - LA - LA# - SI - DO = 12.

Denominando de nuevo estas series divisoras simétricas 
según su doble aspecto como Intervalos (d) y Grados (x) 
(en matemáticas e informática, d-x = cambio de la variable a lo largo del tiempo-espacio)
resultan los siguientes pares ordenados equivalentes a los de Intervalo y Grado:

Tono = Intervalo (de la Escala) 
Fono = Grado (de la Escala)

Unitonal / Bifónica: Do-Do
Bitritonal / Trifónica: Do-Fa#-Do
Tribitonal / Tetrafónica: Do-Mi-Sol#-Do
Tetrasesquitonal / Pentafónica: Do-Mib-Fa#-La-Do
Exatonal / Heptafónica: Do-Re-Mi-Fa#-Sol#-La#-Do
Dodecasemitonal / Tridecafónica: Do-Do#-Re-Re#-Mi-Fa-Fa#-Sol-Sol#-La-La#-Si-Do

Estos cinco subgrupos se pueden asociar naturalmente a los cinco subgrupos rítmicos isomorfos de un compás de 12 * 8 :

Grupos.mp3 Grupos.pdf

Llámense a estos cinco subgrupos "normales" y entiéndanse bien en forma de escala en el tiempo o de acorde en el espacio.
Se opuede observar que la traslación, reflexión y permutación de los elementos de cada subgrupo tiene y deja el mismo intervalo invariante
lo que conecta con la "Teoría de Grupos" en cuanto a que las ecuaciones de 2º, 3º y 4º grado se pueden resolver por raices 
si poseen subgrupos normales del mismo número de elementos invariantes en cualquier permutación,
como se puede ver en los ejemplos de la unidad de octava cromática que posee 5 divisores que son sus raices.

En cambio, si se agrupan los 12 semitonos como se acostumbra en la Teoría de Armonía tradicional en conjuntos de acordes:
DO-MI-SOL = (Acorde de tónica, 3ª y 5ª) con sus dos posible inversiones-permutaciones :
MI-SOL-DO = (Acorde de 6ª)
SOL-DO-MI = (Acorde de 4ª y 6ª)
se advierte que los subgupos son asimétricos y sus intervalos diferentes:

de Tercera Mayor = 4 semitonos
de Tercera Menor = 3 semitonos
de Cuarta Justa = 5 semitonos 
de Quinta Justa = 7 semitonos
en suma, complementando los intevalos de Quinta y de Cuarta = Octava de 7 + 5 = 12 semitonos.

Los cinco subgrupos interválicos simétricos, homogéneos, que dividen a la Treceava son :
12 =                                            12 o de octava
6 + 6 =						12 o de tritono/cuarta aumentada/quinta disminuida,
4 + 4 + 4 = 					12 o de tercera mayor, 
3 + 3 + 3 + 3 =                                 12 o de tercera menor
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 			12 o de segunda mayor 
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12 o de segunda menor

grupos.png (programado en OM)

La simetría oculta o ruptura de la simetría por influencia del coeficiente temperado basado en el Círculo de Quintas :
DO - SOL - RE - LA - MI - SI - FA# - DO# - SOL# - RE#-LA#/SIb - FA - DO 
modularizado para reubicar en una única octava el grupo de 7 notas diatónicas y sus 5 alteraciones cromáticas
se puede ejemplificar perfectamente en el teclado de un piano o controlador maestro MIDI 
(en los claves, cembalos, los colores se invierten respecto los del piano).

Obsérvese que partiendo de la tecla RE o de la tecla SOL#, que están en relación de tritono que es uno de los subgrupos normales citados,
el teclado se distribuye simetricamente en teclas blancas y negras o negras y blancas a derecha e izquierda, 
sin embargo no se percibe a primera vista esa simetría oculta por estar construido el "Clave bien temperado" (nunca mejor dicho) (Cf./index/BACH.htm)
como ejemplo de "Temperamento Igual" (originalmente y realmente desigual y "atemperado"),
por el "Ciclo de Quintas" basado en el sistema decimal y su divisor el nº 5 
y como resultan incompatibles el ciclo de quintas (3) y el ciclo de octavas (2),
ya que al dividir una cuerda por su mitad (2) = 8ª o intervalo de Octava y al dividirla un tercio (3) = 5ª o intervalo de Quinta
nunca podrán esos intervalos de  Octava y Quinta alcanzar una nota común de "acuerdo/acorde" 
en su ciclo de múltiplos de traslación hacia arriba o hacia abajo de la cuerda dividida pitagóricamente,
siempre habrá una "coma" de diferencia según el "Teorema fundamental de la aritmética" o "Teorema de factorización única" 
entre lo números primos 2 y 3 y sus múltiplos  generados en el ciclo "atemperado" en principio,
incluso más sencillamente basta sumar 2 y 3 = 5 para ver que
solo tras una división ulterior que disfraza y enmascara prácticamente la disonancia entre las octavas y quintas se llega a "temperar" sus diferencias.

La paradoja resultante de esto es que la música clásica tradicional europea más o menos desde el Siglo XVI al Siglo XIX y primera mitad del Siglo XX
nos suena "simétrica" no siéndolo en cambio en absoluto al estar basada en el "Ciclo de Quintas" y su explotación de todas sus asimetrías "temperadas"
precisamente para enmascarar su asimetría esencial, se percibe como se va abandonado el sistema temperado de relaciones basadas en la asimetría de los acordes y escalas
de Quinta y utilizando cada vez más hasta la ruptura con el sistema tradicional las armonías y relaciones que se derivan de la simetría radical basada
en la unidad de Treceava de doce intervalos "entre" las notas (no confundir con el "dodecafonismo" = "con" doce notas)
con las posibilidades de melodías, contrapuntos y armonías nuevas que se derivan de sus cinco subgrupos ya comentados,
aquí la paradoja para oidos no bien entrenados es que cuanta mayor la simetría empleada menos "eufónica" o "simétrica" parece la resultante sonora,
hay que tener en cuenta no obstante que las simetrías tanto dodecafónicas como interválicas de treceava cromática son sólo  teóricas, en la práctica siempre sonarán más o menos "cacofónicas"
precisamente por explotar ilimitadamente la disonancia esencial entre los números 2 y 3, mitades y tercios, octavas y quintas, una vez temperada en 12 intervalos
la octava básica (2) y el ciclo de 12 quintas/cuartas (3) integradas en dicha octava, pitagórica en origen pero ya autónoma en su división cromática.
Como curiosidad, ya en gran parte de la música teatral del XIX se usaron  los acordes de 7ª Disminuida basados en la división simétrica en cuatro intervalos (4)
para prestar inquietud a la música como se puede oir en muchos recitativos, ariosos, etc., anticipando así las más radicales propuestas
de un Bartok con su sistema axial de tritonos (2), de un Debussy y sus estructurales gamas exatónicas (6), de un Schönberg con su integral sistema dodecafónico (12),
un ejemplo muy interesante es el que se haya en el prólogo y en el epílogo de la "Música Fúnebre" de Lutowslaski donde combina solo intervalos simétricos de tritono y semitono.
Como compensación paradójica, la notación musical se sigue realizando en el pentagrama = 5 líneas sin haberse logrado implantar del todo otras propuestas
derivadas quizá de la liberación  de la disonancia que implicaba esa relación entre el 2 y el 3 = 5 .

Si se aplica un simbólico y rudimentario ascii art :
     


				            
			       _ | _       _\ /_
			        / \          |          
				              


(...la llamada magia benigna tiene al pentagrama como uno de sus símbolos principales
con su vértice medianero superior hacia arriba,
por el contrario un pentagrama invertido con el vértice medianero hacia abajo
es considerado como parte de un ritual de magia maligna.Wikipedia)			
			
En realidad, el sistema dodecainterválico-dodecafónico (prefiero evitar lo de duodecimal más propio de la base aritmética relacionada) es mucho más simétrico que el sistema decimal-hepta-pentatónico, 
baste pensar en como sería un reloj decimal y ver que para marcar los cuartos de hora, las medias horas, los "y diez", los "y cinco", los "y veinte" , los "menos veinte", etc.
tendríamos problemas de imposible solución, y por eso no se entendía bien, ya de paso y hablando de álgebra 
porqué no se podía encontrar una solución a la ecuación de quinto grado como demostró Galois, obsérvense las siguientes relaciones:

5! (factorial de 5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120  son los elementos del grupo simétrico S5 
120 / 5 = 24 = 12 * 2
120 / 10 = 12 lo que permite modularizar reduciendo de 120 a solo 12 elementos = Z/12 Z (enteros / enteros-módulo 12)
mapearlos a los doce intervalos de la escala cromática que dividen como máximo a una Treceava
e integrar "temperando" la "coma" de diferencia entre los números 2 y 3 (Octavas y Quintas) y entre las bases decimal y duodecimal.

Obsérvese que los números 5 y 10 aparecen en el divisor pero no en el cociente como se ve arriba y muestran su asimetría,
el número 5 sin embargo aparece tanto en el factorial (5!) como en los 5 subgrupos (2, 3, 4, 6, 12) dando lugar a la simetría
en cambio los números 1, 2, 3, 4, 6, 12 aparecen en el dividendo (12), en el divisor y en el cociente reflejándose  simétricamente 
y en forma parecida a una ecuación diofántica como se ve a continuación:

12 / 1 = 12
12 / 2 =  6
12 / 3 =  4
12 / 4 =  3
12 / 6 =  2
12 / 12 = 1

Se puede deducir la paradoja matemática en la que la asimetría del 5 genera la simetría de los 5 grupos homogéneos,
y se le puede dar otro sentido matemático al concepto de "número simétrico" diferente al concepto de "números inversos respecto al 0",
es decir, será número "simétrico" al generado por la multiplicación recursiva de un número asimétrico,
algo parecido a los complementarios números primos y compuestos, y también se podrán llamar "grupos homogéneos"
los generados por un no-grupo "heterogéneo", sirva como ejemplo llamativo el número 5.

La asimetría se comporta como una macro en Clisp respecto a la simetría, 
es decir, retorna una forma para ser evaluada no un valor propio,
Por ejemplo, el factorial de 5! = 120 / Zn = 12 = 5 subgrupos simétricos,
el 5! retorna una forma de 5 subgrupos simétricos evaluables pero el 5 es asimétrico, no tiene valor simétrico propio.

(Aplicando un tratamiento especial a los intervalos asimétricos de 4ª y 5ª Justa (5 y 7 intervalos)
para encajarlos en un sistema simétrico propuesto se ha de entender que estos dos intervalos
han de ser descompuestos en intervalos simétricos a la inversa de los números compuestos
descomponibles en números primos, en efecto, un intervalo de 5 / 7 semitonos ya implica una factorización
de elementos simétricos de 2 + 3 o 1 + 4 / 3 + 4 o 1 + 6 semitonos que sí son grupos simétricos posibles dentro de la unidad de treceava-octava,
en la práctica musical, un intervalo por ejemplo de Do a Fa ascendiendo gradualmente o descendiendo de Do a Sol
se ha de entender analíticamente como una suma de dos o tres intervalos; en el caso de la 4ª Justa:
bien  Do-Do# / Fa, bien Do-Re / Re-Fa, o bien Do-Mib / Mib-Fa, y si se aplican tres intervalos:
Do-Do# / Do#-Re# / Re#-Fa...o Do-Re / Re-Mi / Mi-Fa...cualquier "Modo" compuesto será válido dentro de una "Tonalidad" simétrica.
Lo mismo si se aplica a un intervalo de 5ª, primero se descompone en dos o tres intervalos simétricos 
y se convierte luego en otro "Modo" de abordar la asimetría, por ejemplo, Do-Do# / Do#-Sol, o bien Do-Re / Re-Mi / Mi-Sol...Etc.
En cualquier "modo" que se sumen 5 o 7 en semitonos básicos (1) o en sus sumas de 2, 3, 4, 5 o 6 semitonos 
será una forma congruente de tratar los intervalos asimétricos en un sistema simétrico.

Si se lee junto a este artículo el que lleva el nombre de "octava" se advertirá que en definitiva
de lo que trato aquí es de "sintonizar" una nueva tonalidad y una nueva modalidad, más allá
de la "atonalidad" post-serialista y por supuesto más allá de la "tonalidad"- modalidad clásica,
(obsérvense las tres palabras relativas a "tono" entrecomilladas.)
En síntesis diré que considero a la tonalidad clásica una tonalidad asimétrica basada en el ciclo de quintas y en los intervalos
asimétricos de 4ª y de 5ª justa, en el número 5 en último extremo, importante como sin duda es ese número
por contra considero necesario definir y sintonizar de nuevo una Tonalidad simétrica basada en el intervalo de 13ª, más bien que de 8ª subordinada
esta última a la 5ª - 4ª, intervalo que como he analizado de muchas formas es sin duda aún más importante,
ubicando a la asimetría portada por los intervalos de 5 y de 7 semitonos como tributaria a la ratio 2 / 1
que en definitiva es el determinante último de esta nueva "Sintonidad" ya que bien se podría denominar "Sintonal" a este nuevo sistema
por referencia cruzada a los otros dos sistemas citados, uno "tonal", otro,"atonal" y vs. "tonalidad" "atonalidad")

Ahora se podría deducir porqué no se podía resolver por radicales (divisores) la ecuación de quinto grado pero no hay mal que por bien no venga
y si a base de "temperar" esa Octava / Quinta imposible se pudo apañar prácticamente y disfrutar el "Sistema Temperado Igual" que todavía usamos 
también gracias a esa imposibilidad, en principio, se inauguró la "Teoría de Grupos" y se abrió a la Simetría y Super Simetría
en toda su avasalladora potencia como se ha ido revelando en todas las ciencias y que tiene un representante también como se ha visto en el campo de de la Música.

(Reflejo y reitero aquí ya que converge en un mismo punto (abracadabra.htm) que he utilizado para realizar los "b-a-c-h-d-s-c-h-canons" 
muestras polifónicas a 2,3, 4 voces ejemplificando como se llega a un mundo sonoro 
de nueva/o armonia-contrapunto, de nueva consonancia-disonancia basados en la simetría tonal. 
Por cierto, en alguno de los cánones pueden percibirse "batidos", muestras de algo parecido a una "onda gravitacional" tan en sintonía con el descubrimiento ayer de tales ondas 
y que ha valido el Premio Nobel a sus descubridores ayer, siete meses después como reflejo en las fechas significativas más abajo 
(gravitational-wave sounds )
En efecto, si se escuchan al aire estos cánones se oirán las audio frecuencias, alternativamente, si la música llega a través de unos audífonos, auriculares,
las radiofrecuencias de los sonidos implicados en cada una de las cuatro voces con su masa y energía correspondientes,
en un momento dado un poco antes del final se oirán junto a las interferencias-deformaciones de espacio y tiempo como sonidos parásitos "entre" las voces.

No ha de extrañarse mucho de que la Música posea tales propiedades tanto matemáticas como físicas,
de hecho durante mucho tiempo formaba parte del currículo de ciencias matemáticas, el "Cuadrivium":
"Conjunto  de cuatro materias relacionadas con las matemáticas (arimética, música, geometría y astrología o astronomía) que se estudiaban como un bloque en la Edad Media."
Aunque actualmente se estudia principalmente como una de las llamadas "Bellas Artes" no deja de guardar correspondencias con otras disciplinas matemáticas
e incluso puede aportar una simplificación de "notación" teórica por una parte a través de "notas" en comparación con la matemática
y por otra una ejemplificación física debida a sus propiedade sonoras como material básico de construcción
sin olvidar la informática musical de la que esta web es una prueba.)

palindromic.htm
grados.htm
perfectos.htm
octava.htm
index.htm

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